Главная » Записи

Поворот фигуры вокруг заданной точки на угол

На чтение 7 мин Опубликовано Обновлено

Поворот фигуры вокруг точки на угол — это одна из ключевых операций в геометрии, позволяющая изменять положение и форму фигуры. Знание простых правил поворота поможет вам легко выполнять эту операцию и решать разнообразные задачи.

Правила поворота фигуры вокруг точки на угол довольно просты. Во-первых, выбирается точка, вокруг которой будет происходить поворот. Затем, задается значение угла поворота. Для поворота по часовой стрелке угол считается положительным, для поворота против часовой стрелки — отрицательным.

Чтобы выполнить поворот, каждая точка фигуры подвергается изменению координат. Изменение координат определяется по формулам, основанным на тригонометрических функциях. Например, если (x, y) — начальные координаты точки, (x’, y’) — координаты точки после поворота на угол α, то вычисление координат производится по следующим формулам:

Содержание
  1. Поворот фигуры вокруг точки на угол
  2. Простые правила
  3. Примеры прямоугольников
  4. Примеры треугольников
  5. Примеры кругов
  6. Поворот фигуры на положительный угол
  7. Поворот фигуры на отрицательный угол

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Для выполнения поворота фигуры необходимо применить следующие правила:

  1. Определить центр вращения — точку, вокруг которой будет выполняться поворот.
  2. Измерить угол поворота — величину угла, на который будет поворачиваться фигура.
  3. Используя эти данные, определить новые координаты точек фигуры после поворота.

Для поворота фигуры вокруг точки на угол можно использовать следующие формулы:

  • Для поворота точки (x, y) вокруг центра вращения (a, b) на угол α:
x' = (x - a) * cos(α) - (y - b) * sin(α) + a
y' = (x - a) * sin(α) + (y - b) * cos(α) + b
  • Для поворота всех точек фигуры можно использовать эти формулы для каждой точки.

Пример:

Имеется треугольник с координатами (2, 1), (3, 4) и (5, 2).
Центр вращения - точка (2, 3).
Угол поворота - 60°.
Подставляем значения в формулы:
x' = (2 - 2) * cos(60) - (1 - 3) * sin(60) + 2 ≈ 1
y' = (2 - 2) * sin(60) + (1 - 3) * cos(60) + 3 ≈ 2.732
x' = (3 - 2) * cos(60) - (4 - 3) * sin(60) + 2 ≈ 2.732
y' = (3 - 2) * sin(60) + (4 - 3) * cos(60) + 3 ≈ 3.732
x' = (5 - 2) * cos(60) - (2 - 3) * sin(60) + 2 ≈ 1.732
y' = (5 - 2) * sin(60) + (2 - 3) * cos(60) + 3 ≈ 2
Треугольник после поворота будет иметь новые координаты (1, 2.732), (2.732, 3.732) и (1.732, 2).

Таким образом, поворот фигуры вокруг точки на угол представляет собой важную операцию в геометрии, которая позволяет изменять положение и форму объектов. Правильное применение формул и понимание основных правил позволяет точно определить новые координаты фигуры после поворота.

Простые правила

При повороте фигуры вокруг точки на угол существуют несколько простых правил:

1. Определение центра поворота: перед тем как начать поворачивать фигуру, необходимо определить точку, вокруг которой будет осуществляться поворот. Эта точка называется центром поворота.

2. Определение угла поворота: определите величину угла, на который хотите повернуть фигуру. Угол может быть измерен в градусах или радианах.

3. Задание направления поворота: определите, в какую сторону будет происходить поворот фигуры. Поворот может быть совершен по часовой стрелке (положительный угол) или против часовой стрелки (отрицательный угол).

4. Применение правила поворота: с помощью математических формул или готовых решений совершите поворот фигуры вокруг заданного центра на указанный угол в заданном направлении.

Наблюдая за изменением положения фигуры при повороте вокруг точки на угол, можно легко запомнить эти простые правила и использовать их для создания различных геометрических фигур.

Примеры прямоугольников

Для наглядного понимания поворота фигуры вокруг точки на угол, рассмотрим несколько примеров с прямоугольниками:

  • Прямоугольник ABCD: точка A(-2,4), точка B(4,4), точка C(4,-2), точка D(-2,-2).
  • Прямоугольник EFGH: точка E(1,2), точка F(5,2), точка G(5,-3), точка H(1,-3).
  • Прямоугольник IJKL: точка I(-3,1), точка J(-1,1), точка K(-1,-1), точка L(-3,-1).

Допустим, нам нужно повернуть каждый из этих прямоугольников на угол -90° вокруг начала координат O(0,0).

  1. Прямоугольник ABCD:
    • Точка A(-2,4) станет A'(-4,-2).
    • Точка B(4,4) станет B'(-4,4).
    • Точка C(4,-2) станет C'(2,4).
    • Точка D(-2,-2) станет D'(2,-4).
  2. Прямоугольник EFGH:
    • Точка E(1,2) станет E'(-2,1).
    • Точка F(5,2) станет F'(-2,5).
    • Точка G(5,-3) станет G'(3,-5).
    • Точка H(1,-3) станет H'(-3,-1).
  3. Прямоугольник IJKL:
    • Точка I(-3,1) станет I'(-1,3).
    • Точка J(-1,1) станет J'(1,3).
    • Точка K(-1,-1) станет K'(1,-3).
    • Точка L(-3,-1) станет L'(-1,-3).

Таким образом, мы получили новые координаты вершин каждого прямоугольника после поворота на угол -90° вокруг начала координат O(0,0).

Примеры треугольников

Рассмотрим несколько примеров треугольников и их поворотов вокруг точки на заданный угол:

  • Пример 1:

    1. Исходный треугольник ABC с вершинами A(2, 3), B(4, 5) и C(6, 1).
    2. Угол поворота: 45 градусов.
    3. Точка поворота: O(5, 4).
    4. Результат:
      • Повернутый треугольник DEF с вершинами D(3.35, 3.79), E(4.91, 6.35) и F(3.79, 4.91).

  • Пример 2:

    1. Исходный треугольник XYZ с вершинами X(-1, -3), Y(-4, -2) и Z(-2, -1).
    2. Угол поворота: -60 градусов.
    3. Точка поворота: O(-3, -2).
    4. Результат:
      • Повернутый треугольник ABC с вершинами A(-2.26, -2.98), B(-4.82, -1.42) и C(-2.18, -3.82).

  • Пример 3:

    1. Исходный треугольник PQR с вершинами P(0, 0), Q(2, 2) и R(4, 0).
    2. Угол поворота: 90 градусов.
    3. Точка поворота: O(2, 0).
    4. Результат:
      • Повернутый треугольник MNO с вершинами M(2, 2), N(0, 4) и O(4, 4).

Это лишь некоторые примеры поворота треугольников вокруг точки на угол. Обратите внимание, что координаты вершин после поворота могут быть десятичными числами, так как поворот производится относительно точки с координатами, которые могут не являться целыми числами.

Примеры кругов

Для понимания поворота фигуры вокруг точки на угол, рассмотрим пример с кругом.

Представим, что у нас есть круг радиусом 5см. Чтобы повернуть его на определенный угол, нам необходимо знать координаты центра круга и угол поворота.

Пусть центр круга находится в точке (2, 3). Чтобы повернуть круг на угол 45 градусов по часовой стрелке, мы можем использовать следующие формулы:

  1. x′ = xc + (x − xc)cosθ − (y − yc)sinθ
  2. y′ = yc + (x − xc)sinθ + (y − yc)cosθ

Где:

  • x, y — исходные координаты точки круга (в данном случае радиуса);
  • xc, yc — координаты центра круга;
  • θ — угол поворота;
  • x′, y′ — новые координаты точки круга.

Применяя эти формулы к нашему примеру, получим новые координаты для каждой точки круга и сможем построить повернутый круг.

Поворот фигуры на положительный угол

Для выполнения поворота фигуры на положительный угол, необходимо соблюдать следующие шаги:

  1. Определить координаты точки, вокруг которой будет осуществляться поворот.
  2. Найти координаты всех вершин фигуры.
  3. Вычислить угол поворота в радианах.
  4. С использованием формул поворота и матрицы поворота, применить поворот к каждой вершине фигуры.
  5. Получить новые координаты вершин после поворота.

Например, рассмотрим квадрат с вершинами A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2). Чтобы повернуть данный квадрат на угол 45 градусов вокруг точки (1, 1), применяем вышеуказанные шаги:

  1. Точка поворота: (1, 1).
  2. Координаты вершин: A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2).
  3. Угол поворота: 45 градусов = π/4 радиан.
  4. Применяем формулу поворота:
    • x’ = (x — cx) * cos(θ) — (y — cy) * sin(θ) + cx
    • y’ = (x — cx) * sin(θ) + (y — cy) * cos(θ) + cy
  5. Вычисляем новые координаты вершин:
    • A'(0.293, -0.707)
    • B'(1.707, -0.707)
    • C'(1.707, 1.707)
    • D'(0.293, 1.707)

Таким образом, после поворота фигуры на положительный угол 45 градусов вокруг точки (1, 1), координаты вершин квадрата изменились на новые значения.

Поворот фигуры на отрицательный угол

При повороте фигуры на отрицательный угол, все правила остаются такими же, только направление поворота меняется. Если при положительном угле поворот происходит по часовой стрелке, то при отрицательном угле поворот происходит против часовой стрелки.

Для поворота фигуры на отрицательный угол, нужно:

  1. Найти точку центра поворота.
  2. Найти координаты каждой вершины фигуры.
  3. Вычислить новые координаты вершин с помощью формулы: новая_координата = центр_поворота + (старая_координата — центр_поворота) * cos(угол) — (старая_координата — центр_поворота) * sin(угол).
  4. Построить новую фигуру по новым координатам.

Например, рассмотрим треугольник ABC, где A(2, 4), B(5, 6), C(7, 2). Повернем его на угол -30 градусов относительно точки центра поворота O(4, 4).

ВершинаИсходные координатыНовые координаты
A(2, 4)(1.8, 4.6)
B(5, 6)(4.3, 6)
C(7, 2)(6.2, 2.4)

Построим новый треугольник A’B’C’ по новым координатам:

С новыми координатами, можем построить треугольник A’B’C’ в координатной плоскости.

Оцените статью